Материальная точка. Система отсчёта.
В окружающем нас мире всё находится в непрерывном движении. Под движением в общем смысле этого слова подразумевают любые изменения, происходящие в природе. Наиболее простым видом движения является механическое движение.

Из курса физики 7 класса вы знаете, что механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел, происходящее с течением времени.

При решении различных научных и практических задач, связанных с механическим движением тел, нужно уметь описывать это движение, т. е. определять траекторию, скорость, пройденный путь, положение тела и некоторые другие характеристики движения для любого момента времени.

Например, запуская летательный аппарат с Земли на другую планету, учёные должны предварительно рассчитать, где находится эта планета относительно Земли в момент посадки на неё аппарата. А для этого необходимо выяснить, как меняются с течением времени направление и модуль скорости этой планеты и по какой траектории она движется.

Из курса математики вы знаете, что положение точки можно задать с помощью координатной прямой или прямоугольной системы координат (рис. 1). Но как задать положение тела, имеющего размеры? Ведь каждая точка этого тела будет иметь свою собственную координату.

При описании движения тела, имеющего размеры, возникают и другие вопросы. Например, что следует понимать под скоростью тела, если оно, перемещаясь в пространстве, одновременно вращается вокруг собственной оси? Ведь скорость разных точек этого тела будет различна как по модулю, так и по направлению. Например, при суточном вращении Земли диаметрально противоположные её точки движутся в противоположных направлениях, причём чем ближе к оси расположена точка, тем меньше её скорость.

Каким же образом можно задать координату, скорость и другие характеристики движения тела, имеющего размеры? Оказывается, во многих случаях вместо движения реального тела можно рассматривать движение так называемой материальной точки, т. е. точки, обладающей массой этого тела.

Для материальной точки можно однозначно определить координату, скорость и другие физические величины, так как она не имеет размеров и не может вращаться вокруг собственной оси.

Материальных точек нет в природе. Материальная точка — это понятие, использование которого упрощает решение многих задач и при этом позволяет получить достаточно точные результаты.

Тело можно считать материальной точкой в тех случаях, когда его размерами (а значит, и формой, и вращением) можно пренебречь, поскольку они несущественны в условиях решаемой задачи.

Материальная точка — это понятие, вводимое в механике для обозначения тела, которое рассматривается как точка, имеющая массу.

Практически всякое тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда расстояния, проходимые точками тела, очень велики по сравнению с его размерами.

Например, материальными точками считают Землю и другие планеты при изучении их движения вокруг Солнца. В данном случае различия в движении разных точек любой планеты, вызванные её суточным вращением, не влияют на величины, описывающие годовое движение.

Но при решении задач, связанных с суточным вращением планет (например, при определении времени восхода солнца в разных местах поверхности земного шара), считать планету материальной точкой бессмысленно, так как результат задачи зависит от размеров этой планеты и скорости движения точек её поверхности. Так, например, во Владимирской часовой зоне солнце взойдёт на 1 ч позже, в Иркутской — на 2 ч позже, а в Московской — на 8 ч позже, чем в Магаданской.

За материальную точку правомерно принять самолёт, если требуется, например, определить среднюю скорость его движения на пути из Москвы в Новосибирск. Но при вычислении силы сопротивления воздуха, действующей на летящий самолёт, считать его материальной точкой нельзя, поскольку сила сопротивления зависит от формы и скорости движения самолёта.

Тело, движущееся поступательно^[1], можно принимать за материальную точку даже в том случае, если его размеры соизмеримы с проходимыми им расстояниями. Например, поступательно движется человек, стоящий на ступеньке движущегося эскалатора (рис. 2, а).

В любой момент времени все точки тела человека движутся одинаково. Поэтому если мы хотим описать движение человека (т. е. определить, как меняется со временем его скорость, путь и т. д.), то достаточно рассмотреть движение только одной его точки. При этом решение задачи значительно упрощается.

При прямолинейном движении тела достаточно одной координатной оси для определения его положения.

Например, положение тележки с капельницей (рис. 2, б), движущейся по столу прямолинейно и поступательно, в любой момент времени можно определить с помощью линейки, расположенной вдоль траектории движения (тележка с капельницей принимается за материальную точку). Линейку в этом опыте удобно принять за тело отсчёта, а её шкала может служить координатной осью. (Напомним, что телом отсчёта называется тело, относительно которого рассматривается изменение положения других тел в пространстве.) Положение тележки с капельницей будет определяться относительно нулевого деления линейки.

Но если необходимо определить, например, путь, который прошла тележка за определённый промежуток времени, или скорость её движения, то помимо линейки понадобится прибор для измерения времени — часы.

В данном случае роль такого прибора выполняет капельница, из которой через равные промежутки времени падают капли. Поворачивая кран, можно добиться того, чтобы капли падали с интервалом, например, в 1 с. Посчитав число промежутков между следами капель на линейке, можно определить соответствующий промежуток времени.

Из приведённых примеров ясно, что для определения положения движущегося тела в любой момент времени, вида движения, скорости тела и некоторых других характеристик движения необходимы тело отсчёта, связанная с ним система координат (или одна координатная ось, если тело движется вдоль прямой) и прибор для измерения времени.

Система координат, тело отсчёта, с которым она связана, и прибор для измерения времени образуют систему отсчёта, относительно которой рассматривается движение тела.

Конечно, во многих случаях нельзя непосредственно измерить координаты движущегося тела в любой момент времени. У нас нет реальной возможности, например, расположить измерительную ленту и расставить наблюдателей с часами вдоль многокилометрового пути движущегося автомобиля, плывущего по океану лайнера, летящего самолёта, снаряда, вылетевшего из артиллерийского орудия, различных небесных тел, движение которых мы наблюдаем, и т. д.

Тем не менее знание законов физики позволяет определить координаты тел, движущихся в различных системах отсчёта, в частности в системе отсчёта, связанной с Землёй.

Перемещение

До сих пор при решении многих задач, связанных с движением различных тел, мы пользовались физической величиной, называемой «путь». Под длиной пути подразумевалась сумма длин всех участков траектории, пройденных телом за рассматриваемый промежуток времени.

Путь — скалярная величина (т. е. величина, не имеющая направления).

Для решения различных практических задач в разных сферах деятельности (например, в диспетчерской службе наземного и воздушного транспорта, в космонавтике, астрономии и др.) необходимо уметь рассчитывать, где будет находиться движущееся тело в заданный момент времени.

Покажем, что не всегда можно решить такую задачу, даже зная, какой путь прошло тело за данный промежуток времени. Для этого обратимся к рисунку 3, а.

Допустим, нам известно, что некоторое тело (которое можно принять за материальную точку) начинает двигаться из точки О и за 1 ч проходит путь, равный 20 км.

Для ответа на вопрос, где будет находиться это тело спустя 1 ч после его выхода из точки О, у нас не хватает информации о его движении. Тело могло, например, двигаясь прямолинейно в северном направлении, попасть в точку А, находящуюся на расстоянии 20 км от точки О (расстояние между точками измеряется по прямой, соединяющей эти точки). Но оно могло также, дойдя до точки В, находящейся на расстоянии 10 км от точки О, повернуть на юг и вернуться в точку О, при этом пройденный им путь тоже будет равен 20 км. При заданном значении пути тело также могло оказаться и в точке С, если бы оно двигалось прямолинейно на юго-восток, и в точке D, если бы его движение происходило по изображённой криволинейной траектории.

Чтобы избежать такой неопределённости, для нахождения положения тела в пространстве в заданный момент времени была введена физическая величина, называемая перемещением.

Перемещением тела (материальной точки) называется вектор, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением.

Согласно определению перемещение — векторная величина (т. е. величина, имеющая направление). Оно обозначается , т. е. той же буквой, что и путь, только со стрелкой над ней. Как и путь, в СИ^[2] перемещение измеряется в метрах. Для измерения перемещения используются и другие единицы длины, например километры, мили и т. д.

На рисунке 3, б показаны векторы перемещений, которые совершило бы тело, если бы прошло 20 км следующим образом: по прямолинейной траектории ОА в северном направлении (вектор ), по прямолинейной траектории ОС в юго-восточном направлении (вектор ) и по криволинейной траектории OD (вектор ). А если бы тело прошло 20 км, дойдя до точки В и вернувшись обратно в точку О, то в этом случае вектор его перемещения был бы равен нулю.

Зная начальное положение и вектор перемещения тела, т. е. его направление и модуль, можно однозначно определить, где это тело находится. Например, если известно, что вектор перемещения тела, вышедшего из точки О, направлен на север, а его модуль равен 20 км, то мы с уверенностью можем утверждать, что тело находится в точке А (см. рис. 3,6).

Таким образом, на чертеже, где перемещение изображается стрелочкой определённой длины и направления, можно найти конечное положение тела, отложив от его начального положения вектор перемещения.

Определение координаты движущегося тела.

В предыдущем параграфе говорилось о том, что положение тела, совершившего некоторое перемещение, можно найти графически, отложив вектор перемещения от начального положения этого тела. Но в большинстве случаев необходимо вычислить положение тела, т. е. определить его координаты.

Известно, что вычисления производят не с векторами, а с соответствующими им скалярными величинами: с проекциями векторов на координатные оси и с модулями векторов или их проекций (т. е. с величинами, представляющими собой положительные или отрицательные числа, но не имеющими направления).

Покажем, как определить координату движущегося тела, зная координату его начального положения и вектор перемещения. Для этого решим задачу.

Два катера идут по реке в противоположных направлениях и встречаются в 100 км к востоку от пристани П (рис. 4). Продолжая движение, за некоторый промежуток времени t первый катер переместился от места встречи на 60 км к востоку, а второй — на 50 км к западу. Определите координаты каждого катера относительно пристани и расстояние между катерами через промежуток времени t после их встречи.

Проведём координатную ось ОХ параллельно прямой, вдоль которой движутся катера, и направим её на восток. Начало этой оси (х = 0) — точку О — совместим с пристанью, приняв её за тело отсчёта (поскольку в задаче требуется определить положение катеров по отношению к пристани).

Спроецировав начала и концы векторов перемещения и  на ось ОХ, получим отрезки s_1x и s_2x, которые являются проекциями указанных векторов. Проекция вектора на ось считается положительной, если вектор сонаправлен с этой осью, и отрицательной, если вектор направлен противоположно оси.

Значит, в данном случае s_1x > 0, a s_2x < 0.

Из рисунка 4 видно, что координаты х₁ и х₂ можно найти следующим образом:

х₁ = х₀ + s_1x                 (1)

х₂ = х₀ + s_2x                (2)

Расстояние l между двумя телами, как известно, равно модулю разности их координат:

l = | х₁ – х₂|                 (3)

По уравнениям (1) и (2) можно рассчитать искомые координаты х₁ и х₂. Но какие числа следует подставить в уравнения (1) и (2) вместо символов х₀, s_1x и s_2x?

Согласно условию задачи катера встретились на расстоянии 100 км от пристани, значит, длина отрезка Ох₀ равна 100 км. Из рисунка 4 видно, что координата х₀ находится на положительной полуоси ОХ, т. е. х₀ > 0. Значит, х₀ = 100 км.

Поскольку ось ОХ параллельна векторам перемещений катеров, длины проекций s_1x и s_2x равны соответственно длинам векторов  и  (как противоположные стороны построенных на них прямоугольников). А это означает, что модуль каждой проекции равен модулю соответствующего ей вектора.

Указанные в задаче расстояния (60 км и 50 км), на которые сместились катера за время t, представляют собой модули векторов их перемещений. Значит, модуль проекции s_1x равен 60 км, а модуль проекции s_2x равен 50 км.

Поскольку проекция s_1x положительна, то можно записать: s_1x = 60 км. Но проекция s_2x отрицательна, поэтому s_2x = -50 км.

Теперь запишем условие задачи и решим её.

Домашнее задание:
I. Учить §§ 1 – 3
II. Ответить на вопросы:
1. Что называется материальной точкой?
2. С какой целью используется понятие «материальная точка»?
3. В каких случаях движущееся тело обычно рассматривают как материальную точку?
4. Приведите пример, показывающий, что одно и то же тело в одной ситуации можно считать материальной точкой, а в другой — нет.
5. В каком случае положение движущегося тела можно задать с помощью одной координатной оси?
6. Что такое система отсчёта?

7. Всегда ли можно определить положение тела в заданный момент времени t, зная начальное положение этого тела (при t₀ = 0) и путь, пройденный им за промежуток времени t? Ответ подтвердите примерами.
8. Что называют перемещением тела (материальной точки)?
9. Можно ли однозначно определить положение тела в заданный момент времени t, зная начальное положение этого тела и вектор перемещения, совершённого телом за промежуток времени t? Ответ подтвердите примерами.

10. С какими величинами производят вычисления — с векторными или скалярными?
11. При каком условии проекция вектора на ось будет положительной, а при каком — отрицательной?
12. Запишите уравнение, с помощью которого можно определить координату тела, зная координату его начального положения и вектор перемещения.
III. Решить упражнения 1 – 3.
№ 1
1. Можно ли считать автомобиль материальной точкой при определении пути, который он прошёл за 2 ч, двигаясь со средней скоростью, равной 80 км/ч; при обгоне им другого автомобиля?
2. Самолёт совершает перелёт из Москвы во Владивосток. Может ли рассматривать самолёт как материальную точку диспетчер, наблюдающий за его движением; пассажир этого самолёта?
3. Когда говорят о скорости машины, поезда и других транспортных средств, тело отсчёта обычно не указывают. Что подразумевают в этом случае под телом отсчёта?
4. Мальчик стоял на земле и наблюдал, как его младшая сестра каталась на карусели. После катания девочка сказала брату, что и он сам, и дома, и деревья быстро проносились мимо неё. Мальчик же стал утверждать, что он вместе с домами и деревьями был неподвижен, а двигалась сестра. Относительно каких тел отсчёта рассматривали движение девочка и мальчик? Объясните, кто прав в споре.
5. Относительно какого тела отсчёта рассматривают движение, когда говорят: а) скорость ветра равна 5 м/с; б) бревно плывёт по течению реки, поэтому его скорость равна нулю; в) скорость плывущего по реке дерева равна скорости течения воды в реке; г) любая точка колеса движущегося велосипеда описывает окружность; д) солнце утром восходит на востоке, в течение дня движется по небу, а вечером заходит на западе?
№ 2.
1. Какую физическую величину определяет водитель автомобиля по спидометру — пройденный путь или перемещение?
2. Как должен двигаться автомобиль в течение некоторого промежутка времени, чтобы по спидометру можно было определить модуль перемещения, совершённого автомобилем за этот промежуток времени?
№ 3.
1. Мотоциклист, переехав через мост, движется по прямолинейному участку дороги. У светофора, находящегося на расстоянии 10 км от моста, мотоциклист встречает велосипедиста. За 0,1ч с момента встречи мотоциклист перемещается на 6 км, а велосипедист — на 2 км от светофора (при этом оба они продолжают двигаться прямолинейно в противоположных направлениях).
2. Определите координаты мотоциклиста и велосипедиста и расстояние между ними спустя 0,1 ч после их встречи.
Указание: начертите ось X, направив её в сторону движения мотоциклиста и приняв за тело отсчёта мост. Обозначьте на этой оси координату светофора (х_с), координаты велосипедиста (х_в) и мотоциклиста (х_м), которые они имели через 0,1 ч после встречи. Над осью начертите и обозначьте векторы перемещений велосипедиста () и мотоциклиста (), а на оси — проекции этих векторов s_Вх и s_мх).
3. Мальчик держит в руках мяч на высоте 1 м от поверхности земли. Затем он подбрасывает мяч вертикально вверх. За некоторый промежуток времени t мяч успевает подняться на 2,4 м от своего первоначального положения, достигнув при этом точки наибольшего подъёма, и опуститься от этой точки на 1,25 м (рис. 5).
Пользуясь этим рисунком, определите: а) координату х₀ начального положения мяча; б) проекцию s_tx вектора перемещения , совершённого мячом за время t; в) координату х_t, которую имел мяч через промежуток времени t после броска.

^[1] Поступательное движение — движение тела, при котором прямая, соединяющая любые две точки этого тела, перемещается, оставаясь всё время параллельной своему первоначальному направлению. Поступательным может быть как прямолинейное, так и криволинейное движение. Например, поступательно движется кабина колеса обозрения.

^[2] Напомним, что в СИ (Международная система единиц) (м), времени — секунда (с). Они называются основными, так как выбраны независимо от единиц других величин. Единицы, определяемые через основные, называются производными. Примерами производных единиц СИ могут служить м/с, кг/м³ и многие другие.