Выведем формулу, с помощью которой можно рассчитать проекцию вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, за любой промежуток времени. Для этого обратимся к рисунку 14. Как на рисунке 14, а, так и на рисунке 14, б отрезок АС представляет собой график проекции вектора скорости тела, движущегося с постоянным ускорением а (при начальной скорости v0).
Напомним, что при прямолинейном равномерном движении тела проекция вектора перемещения, совершённого этим телом, определяется по той же формуле, что и площадь прямоугольника, заключённого под графиком проекции вектора скорости (см. рис. 6). Поэтому проекция вектора перемещения численно равна площади этого прямоугольника.
Докажем, что и в случае прямолинейного равноускоренного движения проекцию вектора перемещения sx можно определять по той же формуле, что и площадь фигуры, заключённой между графиком АС, осью Ot и отрезками ОА и ВС, т. е. что и в этом случае проекция вектора перемещения численно равна площади фигуры под графиком скорости. Для этого на оси Ot (см. рис. 14, а) выделим маленький промежуток времени db. Из точек d u b проведём перпендикуляры к оси Ot до их пересечения с графиком проекции вектора скорости в точках а и с.
Таким образом, за промежуток времени, соответствующий отрезку db, скорость тела меняется от vax до vcx.
За достаточно малый промежуток времени проекция вектора скорости меняется очень незначительно. Поэтому движение тела в течение этого промежутка времени мало отличается от равномерного, т. е. от движения с постоянной скоростью.
В этом случае участок ас графика можно считать горизонтальным, а полоску acbd — прямоугольником. Значит, площадь этой полоски численно равна проекции вектора перемещения за промежуток времени, соответствующий отрезку db.
На такие полоски можно разбить всю площадь фигуры ОАСВ, являющейся трапецией. Следовательно, проекция вектора перемещения sx за промежуток времени, соответствующий отрезку ОВ, численно равна площади S трапеции ОАСВ и определяется по той же формуле, что и эта площадь.
Согласно правилу, приведённому в школьных курсах геометрии, площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Из рисунка 14, б видно, что основаниями трапеции ОАСВ являются отрезки ОА = v0x и ВС = vx, а высотой — отрезок ОВ = t. Следовательно,
Поскольку vx = v0х + axt, a S = sx, то можно записать:
Таким образом, мы получили формулу для расчёта проекции вектора перемещения при равноускоренном движении.
По этой же формуле рассчитывают проекцию вектора перемещения и при движении тела с уменьшающейся по модулю скоростью, только в этом случае векторы скорости и ускорения будут направлены в противоположные стороны, поэтому их проекции будут иметь разные знаки.
Перемещение тела при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости
Рассмотрим, как рассчитывается проекция вектора перемещения тела, движущегося равноускоренно, если его начальная скорость D0 равна нулю. В этом случае уравнение
будет выглядеть так:
Перепишем это уравнение, подставив в него вместо проекций sx и ах модули s и а векторов перемещения и ускорения. Поскольку в данном случае векторы и направлены в одну сторону, их проекции имеют одинаковые знаки. Поэтому уравнение для модулей векторов можно записать:
Из этой формулы следует, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости модуль вектора перемещения прямо пропорционален квадрату промежутка времени, в течение которого это перемещение было совершено. Это означает, что при увеличении в п раз времени движения (отсчитываемого от момента начала движения) перемещение увеличивается в п2 раз.
Например, если за произвольный промежуток времени t1 от начала движения тело совершило перемещение , то за промежуток времени t2 = 2t1 (отсчитываемый от того же момента, что и t1,) оно совершит перемещение ; за промежуток времени t3 = 3t1 — перемещение ; за промежуток времени tn = nt1, — перемещение sn = n2s, (где п — натуральное число).
Эта зависимость модуля вектора перемещения от времени при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости наглядно отражена на рисунке 15, где отрезки ОА, ОВ, ОС, OD и ОЕ представляют собой модули векторов перемещений (s1, s2, s3, s4 и s5), совершённых телом соответственно за промежутки времени t1, t2 = 2t1, t3 = 3t1, t4 = 4t1 и t5 = 5t1.
Из этого рисунка видно, что
ОА : ОВ : ОС : OD : ОЕ = 1 : 4 : 9 : 16 : 25 (1)
т. е. при увеличении промежутков времени, отсчитываемых от начала движения, в целое число раз по сравнению с t1 модули соответствующих векторов перемещений возрастают как ряд квадратов последовательных натуральных чисел.
Из рисунка 15 видна ещё одна закономерность:
OA : AB : BC : CD : DE = 1 : 3 : 5 : 7 : 9 (2)
т. е. модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени (каждый из которых равен t1), относятся как ряд последовательных нечётных чисел.
Закономерности (1) и (2) присущи только равноускоренному движению. Поэтому ими можно пользоваться, если необходимо определить, является движение равноускоренным или нет.
Определим, например, было ли равноускоренным движение улитки, которая за первые 20 с движения переместилась на 0,5 см, за вторые 20 с — на 1,5 см, за третьи 20 с — на 2,5 см.
Для этого найдём, во сколько раз перемещения, совершённые за второй и третий промежутки времени, больше, чем за первый:
Значит, 0,5 см : 1,5 см : 2,5 см = 1 : 3 : 5. Поскольку эти отношения представляют собой ряд последовательных нечётных чисел, то движение тела было равноускоренным.
В данном случае равноускоренный характер движения был выявлен на основании закономерности (2).
Домашнее задание:
I. Учить §§ 7, 8.
II. Ответить на вопросы:
1. Пользуясь рисунком 14, а, докажите, что проекция вектора перемещения при равноускоренном движении численно равна площади фигуры ОАСВ.
2. Запишите уравнение для определения проекции вектора перемещения тела при его прямолинейном равноускоренном движении.
3. По каким формулам рассчитываются проекция и модуль вектора перемещения тела при его равноускоренном движении из состояния покоя?
4. Во сколько раз увеличится модуль вектора перемещения тела при увеличении времени его движения из состояния покоя в п раз?
5. Запишите, как относятся друг к другу модули векторов перемещений тела, движущегося равноускоренно из состояния покоя, при увеличении времени его движения в целое число раз по сравнению с t1.
6. Запишите, как относятся друг к другу модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени, если это тело движется равноускоренно из состояния покоя.
7. С какой целью можно использовать закономерности (1) и (2)?
III. Решить упражнение 7, 8.
№ 7.
1. Велосипедист съехал с горки за 5 с, двигаясь с постоянным ускорением 0,5 м/с2. Определите длину горки, если известно, что в начале спуска скорость велосипедиста была равна 18 км/ч.
2. Поезд, идущий со скоростью 15 м/с, остановился через 20 с после начала торможения. Считая, что торможение происходило с постоянным ускорением, определите перемещение поезда за 20 с.
3*. Приведите формулу к виду При необходимости воспользуйтесь указаниями в ответах.
№ 8.
1. Отходящий от станции поезд в течение первых 20 с движется прямолинейно и равноускоренно. Известно, что за третью секунду от начала движения поезд прошёл 2 м. Определите модуль вектора перемещения, совершённого поездом за первую секунду, и модуль вектора ускорения, с которым он двигался.
2*. Автомобиль, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, за пятую секунду разгона проходит 6,3 м. Какую скорость развил автомобиль к концу пятой секунды от начала движения?
3*. Некоторое тело за первые 0,03 с движения без начальной скорости переместилось на 2 мм, за первые 0,06 с — на 8 мм, за первые 0,09 с — на 18 мм. На основании закономерности (1) докажите, что в течение всех 0,09 с тело двигалось равноускоренно.